增根是什么意思（分式方程有增根和无解的区别）

最近个别小朋友在学习中，遇到一个数学名词：增根，直言看不懂，因为很多老师没有讲过哦。所以增根是什么呢？杨大侠给大家讲讲吧！

一、增根的定义

增根，是指方程求解后，得到的根（根也叫解）此时不满足题设方程的根，称为增根。说白了，求解出一个方程的根后，回去原方程没有意义的。

二、增根出现的原因

经常出现在分式方程化整式方程时，直接乘上公分母去掉了原分式方程中分母，但没有限制不为0的条件，从而使得未知数可能取得0，则分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，得到的有些根，并不一定是原分式方程的解，即为增根．因为带回去此时分式的分母为0了，此时分式无意义。

举例说明

从本例题看出，去分母直接乘上公分母（x+2）(x-2)是没有考虑分母的根的情况，最后解出来的根为2，但2使得原方程没有意义，分母不为0，所以原方程无解，x=2是原方程的增根。

三，分式方程增根与无解的区别

学习分式方程时，很多同学认为增根和无解是一回事，导致解题过程中出现了错误。那么，增根和无解到底有何区别呢？结合两个具体例子，我们加以分析和理解。

例1、当k为何值时，分式方程有增根？

【分析】分式方程两边乘以x（x﹣1）去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x（x﹣1）＝0，求出x＝0或1，将x＝0或1代入整式方程即可求出k的值．

【解答】解：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x＝x+2k﹣5（x﹣1）…

又∵分式方程有增根，

∴x（x﹣1）＝0，

解得：x＝0或1

当x＝1时，代入整式方程得：6×1＝1+2k﹣5（1﹣1），

解得：k＝2.5，

当x＝0时，代入整式方程得：6×0＝0+2k﹣5（0﹣1），

解得：k＝﹣2.5，

则当k＝2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．

【点评】：这类题只需两步，第一步去掉分母化成整式方程，化成整式方程就不要再去变形整理了，保持“原状”不动，第二步找到增根，代入求解即可。

例2、已知关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为（ ）

A．0 B．0或﹣8 C．﹣8 D．0或﹣8或﹣4

【分析】分式方程无解的条件是：（1）、分式方程有增根（2）、去分母后所得整式方程无解。

【解答】解：方程去分母得：（x﹣2）2﹣mx＝（x+2）（x﹣2），

根据增根的意义：当x＝﹣2时分母为0，方程无解，即m＝﹣8；

当x＝2时分母为0，方程无解，即m＝0

同时，我们进一步整理得：（4+m）x＝8，

当m＝﹣4时整式方程无解；

故选：D．

【点评】由此，我们不难看出，分式方程无解分两种情况：分式方程产生增根；整式方程本身无解。将分式方程化成整式方程后，一定进一步求解，找到整式方程无解的情况。

巩固练习：

1、（2018•潍坊）当m＝ 时，解分式方程＝会出现增根．

2、关于x的分式方程﹣1＝有增根，请求出增根及此时m的值

3、关于x的分式方程﹣＝1+无解，则a的值是多少．